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Introduction :

Histoire :

C’est dans le monde arabo-musulman que la trigonométrie prend le statut de discipline à part entière et se détache de l’astronomie.

Omar Khayyam (1048-1131) combine l’utilisation de la trigonométrie et la théorie de l’approximation pour fournir des méthodes de résolutions d’équations algébriques par la géométrie. Des méthodes détaillées de constructions de tables de sinus et cosinus pour tous les angles sont écrites par le mathématicien Bhāskara II en 1150. Il développe aussi la trigonométrie sphérique. Au xiiiéme siècle, Nasir al-Din Tusi, à la suite de Bhāskara, est probablement un des premiers à considérer la trigonométrie comme une discipline distincte des mathématiques. Enfin, au xivéme siècle, Al-Kashi réalise des tables de fonctions trigonométriques lors de ses études en astronomie.

Définition

Une définition possible des fonctions trigonométriques est d’utiliser les triangles rectangles, c’est-à-dire les triangles qui possèdent un angle droit (90° degrés ou π/2 radians).

Et parce que la somme des angles d’un triangle fait 180° (ou π radians), l’angle le plus grand dans un tel triangle est l’angle droit. Le côté le plus long dans un triangle rectangle, c’est-à-dire le côté opposé à l’angle le plus grand (l’angle droit), s’appelle l’hypoténuse.

Dans la figure à droite, l’angle \scriptstyle\widehat{ACB} forme l’angle droit. Le côté AB l’hypoténuse.

Les fonctions trigonométriques se définissent ainsi, en notant A l’angle \scriptstyle\widehat{BAC} :

 \sin A={\mbox{côté opposé} \over \mbox{hypoténuse}} = {a \over c}<br /><br /><br /><br />
 \qquad \cos A={\mbox{côté adjacent} \over \mbox{hypoténuse}} = {b \over c}<br /><br /><br /><br />
 \qquad \tan A={\mbox{côté opposé} \over \mbox{côté adjacent}} = {a \over b}<br /><br /><br /><br />

Ce sont les fonctions trigonométriques les plus importantes. Elles ont été définies pour les angles entre 0° et 90° (soit entre 0 et π/2 radians). En utilisant le cercle unité, on peut étendre cette définition.

I – Généralités

1.1/ Relations fondamentales

tan(x) = sin(x)/cos(x)
Petite astuce de Nelly: Pour se souvenir de la formule précédente, perso je me dis que tangente c’est Soleil sur Carottes ! D’où sin sur cos…si ça peut aider!

sin²(x) + cos²(x) = 1

sin²(x) = tan²(x) / (1 + tan²(x))
cos²(x) = 1 / (1 + tan²(x))

 

1.2/ Transformations remarquables

sin(2pi + x) = sin(x)
cos(2pi + x) = cos(x)
tan(2pi + x) = tan(x)

sin( -x) = – sin(x)
cos( -x) = cos(x)
tan( -x) = – tan(x)

sin(pi – x) = sin(x)
cos(pi – x) = – cos(x)
tan(pi – x) = – tan(x)

sin(pi + x) = – sin(x)
cos(pi + x) = – cos(x)
tan(pi + x) = tan(x)

sin(pi/2 – x) = cos(x)
cos(pi/2 – x) = sin(x)
tan(pi/2 – x) = 1/tan(x)

sin(pi/2 + x) = cos(x)
cos(pi/2 + x) = – sin(x)
tan(pi/2 + x) = -1/tan(x)

sin(3pi/2 – x) = – cos(x)
cos(3pi/2 – x) = – sin(x)
tan(3pi/2 – x) = 1/tan(x)

sin(3pi/2 + x) = – cos(x)
cos(3pi/2 + x) = sin(x)
tan(3pi/2 + x) = -1/tan(x)

1.3/ Angles remarquables

x sin(x) cos(x) tan(x) cotan(x)
0 0 1 0 /
pi/6 1/2 racine(3)/2 racine(3)/3 racine(3)
pi/4 racine(2)/2 racine(2)/2 1 1
pi/3 racine(3)/2 1/2 racine(3) racine(3)/3
pi/2 1 0 / 0
pi 0 -1 0 /

1.4/ Equations trigonométriques

k appartient à Z

sin(a) = sin(b)
alors a = b + 2kpi
ou a = pi – b + 2kpi

cos(a) = cos(b)
alors a = b + 2kpi
ou a = -b + 2kpi

tan(a) = tan(b)
alors a = b + kpi

II – Formules d’addition

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)
sin(a – b) = sin(a)cos(b) – sin(b)cos(a)
cos(a + b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b)
cos(a – b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
tan(a + b) = (tan(a) + tan(b)) / (1 – tan(a)tan(b))
tan(a – b) = (tan(a) – tan(b)) / (1 + tan(a)tan(b))

sin(p) + sin(q) = 2sin((p + q)/2)cos((p – q)/2)
sin(p) – sin(q) = 2sin((p – q)/2)cos((p + q)/2)
cos(p) + cos(q) = 2cos((p + q)/2)cos((p – q)/2)
cos(p) – cos(q) = -2sin((p + q)/2)sin((p – q)/2)
tan(p) + tan(q) = sin(p + q) / (cos(p)cos(q))
tan(p) – tan(q) = sin(p – q) / (cos(p)cos(q))

sin(a)sin(b) = (1/2)(cos(a – b) – cos(a + b))
cos(a)cos(b) = (1/2)(cos(a + b) + cos(a – b))
sin(a)cos(b) = (1/2)(sin(a + b) + sin(a – b))

III – Formules de duplication

sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
= 2tan(a) / (1 + tan²(a))

cos(2a) = cos²a – sin²a
= 2cos²a – 1
= 1 – 2sin²a

tan(2a) = 2tan(a) / (1 – tan²(a))

sin²(a) = (1 – cos(2a)) / 2
cos²(a) = (1 + cos(2a)) / 2
tan²(a) = (1 – cos(2a)) / (1 + cos(2a))

tan(a) = sin(2a) / (1 + cos(2a))
= (1 – cos(2a)) / sin(2a)

En posant t = tan(a/2) :

sin(a) = 2t / (1 + t²)
cos(a) = (1 – t²) / (1 + t²)
tan(a) = 2t / (1 – t²)

Formule de Moivre

( cos(a) + isin(a))n = cos(na) + isin(na)

Formules d’Euler

cos θ = 1/2.(e + e-iθ)
sin θ = 1/(2i).(e – e-iθ)

 Pour ce profonderir voir le lien => Source : Wikipédia

A propos de l'auteur :

Hamza Abouabid étudiant en 3 année physique au sien de la faculté des sciences Ain Chock Casablanca , Admin des sites coursfaciles.com et AB7AT.COM

a écrit 73 articles sur le site :).

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5 Responses so far.

  1. Vicky dit :

    I’m out of league here. Too much brain power on dipysal!

  2. You don't know how much I appreciate your comment. Thank you!It was really hard to keep it in perspective especially when there were things that I really liked but yet still be honest in my rating. I'm glad I wasn't the only one. ~Angela

  3. Wonderful post but (wet-blanket English-teacher time) I believe that "The media imagines that it controls public discourage in its echo chamber" is meant to refer to "public discourse"? Other than that tiny slip, I envy your ability to whip words into a concise, organized whole. For me, organizing words and arraying arguments and ideas is like trying to herd cats… Sigh.

  4. AnonymousNovember 20, 2012 at 8:16 ami saw him today at the corner of oaklnad park and 21st stand its kind of funny that he had been there for almost a week. and today he parked his traveling agon right next to my car and i saw hi getting out of it but i didnt reaize who he was untill i actually googled about him.

  5. ,, she just tells that enemy in Jesus name get thee behind me,,and she stomps the floor,,and she just turned 80 :0) How cool is that!!!Love ya Sis~~~~~ In following Him,, May God's Blessings be on You and Hugs from me too~~~Dena

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