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 3-Généralités

Monotonie.   Une suite (Un) est croissante lorsque, pour tout entier n on a

Un ≤ Un+1.

Elle est strictement croissante lorsque l’inégalité est stricte.
La suite (Un) est décroissante si pour tout n on a

Un ≥ Un+1.

La suite (Un) est constante lorsque pour tout n on a

Un = Un+1.

Bornes. Une suite (un) est majorée par M lorsque pour tout entier n

U≤ M.

La suite (Un) est minorée par m lorsque pour tout entier n, on a

Un ≥ m.

La suite (Un) est bornée par m et M lorsque pour tout entier n, on a

m ≤ Un ≤ M.

Convergence.   Une suite (Un) a pour limite un nombre ß lorsque les nombres
Un se rapprochent indéfiniment de ß pour des entiers n de plus en plus grands.
On dit alors que la suite (Un) converge ves ß, ou encore qu’elle est convergente, de limite ß. Ceci se note par le symbole

      lim  Un = ß.
n→+∞

De façon plus formelle, ceci se traduit par le fait que pour toute précision
ε > 0 fixée, il existe un rang N tel que, pour tout n

n ≥ N ⇒ −ε < Un − ß < ε.    (16)

Voici un théorème d’usage fréquent pour s’assurer de l’existence d’une limite pour une suite donnée.

Propriété 1 : Si une suite (Un) est croissante et est majorée par un nombre
M, alors elle converge et sa limite est inférieure à M.

Un énoncé similaire peut être formulé, concernant une suite minorée et
décroissante.

Voici un autre théorème important.

Propriété 2 : Si trois suites (Un), (Vn) et (Wn) sont telles que pour tout n

Un < Vn < Wn,

et si de plus

limUn = ß = limWn
n→+∞        n→+∞

alors on a

      limVn = ß.
 n→+∞

C’est un théorème d’encadrement de limites.
Suites adjacentes.  Deux suites (Un) et (Vn) sont dites adjacentes lorsque
les trois conditions suivantes sont réunies
– (Un) est croissante,
– (Vn) est décroissante,
– pour tout n, on a Un ≤ Vn.
Alors si de plus la différence Un − Vn tend vers 0 lorsque n tend vers +∞,
alors les deux suites sont convergentes et ont la même limite.

Categories: Analyse, Mathematiques

A propos de l'auteur :

Hamza Abouabid étudiant en 3 année physique au sien de la faculté des sciences Ain Chock Casablanca , Admin des sites coursfaciles.com et AB7AT.COM

a écrit 73 articles sur le site :).

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