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1.1 RÉFÉRENTIELS D’ESPACE ET DE TEMPS

Nous allons donner quelques éléments utiles pour la compréhension générale mais
nous conseillons au lecteur de se reporter à l’excellent ouvrage de P. Rougée
qui définit de façon très précise et commentée toutes les notions mathématiques
importantes. Les quelques lignes qui suivent s’en inspirent en partie.

La notion de temps ou de durée en mécanique classique est un concept autonome.

On parlera d’instants t dans un ensemble T muni d’une chronologie. La
différence entre deux instants est appelée durée. Les horloges – supposées galiléennes,
terme qui sera précisé dans le chapitre dynamique – sont classiquement
fondées sur des mouvements répétitifs : la rotation de la Terre a été le premier d’entre
eux.
L’espace dans lequel nous allons travailler est celui qui nous entoure, modélisé
par un espace affine réel euclidien de dimension trois. Il sera noté E. Dans cet espace
se trouvent des points qui peuvent constituer des droites ou des plans. Repérer
des déplacements dans E conduit à la notion de vecteur qui appartient à un espace
vectoriel noté E de dimension trois lui aussi. Le point A qui se sera déplacé pour se
trouver en un point B de E conduit donc au vecteur déplacement noté U = AB.
Remarque
Dans cet ouvrage les vecteurs sont notés en gras (notation anglo-saxonne), par
exemple x, afin d’alléger l’écriture sachant que l’on trouve aussi comme notation
x ou −→x dans d’autres ouvrages. Il n’y aura aucune confusion possible car nous ne

manipulerons dans cet ouvrage que des scalaires x, des vecteurs x ou des torseurs
constitués de vecteurs. Les tenseurs d’ordre deux seront évoqués à propos de tenseur
d’inertie ou du vecteur rotation derrière lequel se cache un tenseur anti-symétrique.

Nous donnons quelques informations opérationnelles sur les outils indispensables
que sont les produits scalaire, vectoriel et mixte. Le lecteur est invité à se reporter à
des ouvrages plus spécialisés pour plus de renseignements. Nous travaillerons dans
tout ce cours avec des bases orthonormées directes. Il est donc important de savoir

les construire rapidement. Nous utiliserons la méthode suivante (figure 1.1) : un premier
vecteur unitaire u est tracé. Le deuxième v doit être directement perpendiculaire
(avec un angle droit dans le sens trigonométrique). Le troisième en est déduit (par
produit vectoriel) en utilisant la règle simple qui consiste à positionner le pouce (de
la main droite) sur u, l’index sur v ; le majeur replié pointe alors dans la troisième
direction et permet de tracer w.

Le produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs u et v est noté u · v. Si ces vecteurs ont des
composantes (xu, yu, zu) et (xv, yv, zv) dans une base orthonormée on a :
u · v = xu xv + yu yv + zu zv.
Si les vecteurs u et v font un angle u (figure 1.2), on a :
u · v = u v cos u.
Dans le cas où les deux vecteurs ont une norme unité, on a alors :
u · v = cos u.
Les principales propriétés du produit scalaire sont :
• qu’il est symétrique u · v = v · u ;
• qu’il est distributif sur l’addition des vecteurs u · (v + w) = u · v + u · w;
• que deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit
scalaire est nul.

Le produit vectoriel

Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v est noté u ∧ v. Il s’agit d’un vecteur
normal au plan contenant les deux vecteurs u et v. Si ces vecteurs ont des composantes
(xu, yu, zu) et (xv, yv, zv) dans une base orthonormée, on a :
u ∧ v = (yu zv − zu yv) x + (zu xv − xu zv) y + (xu yv − yuxv) z.
Si les vecteurs u et v font un angle u, on a :
u ∧ v = u v sin u.

Le produit vectoriel u ∧ v de deux vecteurs position u et v (dont la dimension est
une longueur L) représente l’aire orientée du parallélogramme formé par ces deux
vecteurs (dimension L2) dirigée selon la normale à ce parallélogramme (figure 1.3).
Les principales propriétés du produit vectoriel sont :
• qu’il est antisymétrique u ∧ v = −v ∧ u ;
• qu’il est distributif sur l’addition des vecteurs u ∧ (v + w) = u ∧ v + u ∧ w;
• que deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel
est nul.

Le produit mixte  

de trois vecteurs u, v et w est noté (u, v, w). C’est par définition
(u ∧ v) · w. Le produit mixte est inchangé par permutation circulaire directe :
(u, v, w) = (w, u, v) = (v, w, u).
On a de la même manière les relations :
(u, v, w) = −(v, u, w),
ce qui signifie que pour toute permutation de deux termes du produit mixte, celuici
change de signe. Le produit mixte (u, v, w) de trois vecteurs position u, v et
w (dimension L) représente le volume du parallélépipède formé par ces trois vecteurs
(dimension L3) (figure 1.3). On aura aussi besoin du double produit vectoriel .

Categories: physiques

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