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2-Suites géométriques


Définition. Une suite de nombres (vn)nεN est géométrique lorsqu’il existe
un nombre q tel que pour tout entier n on ait : 

               vn+1 = vn × q                                         (8)

Ce nombre q est appelé la raison de la suite.
Relations entre les termes. La suite (vn)n est arithmétique de raison q.
Alors on a :
       a) pour tout entier n :

                                 vn = v0 × qn                                             (9)

b) pour tous entiers k ≤ n :


vn = vk × qn−k.                                       (10)


Somme des termes successifs. Avec (vn)n géométrique de raison q, alors :

a) à partir du premier terme v0 jusqu’au rang n :

    v0 + v1 + v2 + · · · + vn = [v0 ×(1 − qn+1)/(1 − q)]                          (11)

b) à partir d’un terme de rang k jusqu’au rang n ≥ k :

vk + vk+1 + vk+2 + · · · + vn = [vk ×(1 − qn−k+1)/(1 − q)]                    (12)

Deux résultats remarquables.

– La somme des n premières puissances successives de :

1 + q + q2 + · · · + qn =[(qn+1− 1)/(q − 1)]                                                            (13)

– Trois nombres positifs a, b et c sont dans cet ordre des termes successifs
d’une suite géométrique si, et seulement si :

                     b =√(a × c)                                     (14)

Limite. Lorsque la raison q d’une suite géométrique (vn) est telle que :

                    −1 < q < 1                                       (15)

alors les valeurs vn de la suite se rapprochent ind´efiniment de 0 lorsque n

devient grand : la suite (vn) tend vers 0.

Categories: Analyse

A propos de l'auteur :

Hamza Abouabid étudiant en 3 année physique au sien de la faculté des sciences Ain Chock Casablanca , Admin des sites coursfaciles.com et AB7AT.COM

a écrit 73 articles sur le site :).

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